Анатолий Михайлович Савченко появился на свет 30 июня 1924 года в Новочеркасске. В годы Великой Отечественной войны он прошёл военную службу. После демобилизации поступил во ВГИК и в 1953 году завершил обучение, получив квалификацию художника-постановщика в области мультипликации . Сразу после выпуска его приняли в штат киностудии «Союзмультфильм», где он проработал вплоть до 1990 года.